Een ruimtereis in de 19e eeuw  Inhoudsopgave Maak zelf een ruimtereis!

15. Een ruimtereis in de 20e eeuw
 
In het voorafgaande hebben we gezien dat de constantheid van de lichtsnelheid ons dwingt om begrippen als tijd, afstand en gelijktijdigheid te herzien. Dit gebeurt in de relativiteitstheorie van Einstein, in het begin van de 20e eeuw ontwikkeld.
Deze relativiteitstheorie heeft dus invloed op het reisverhaal van Gea en Stella.
We gaan weer uit van de zelfde situatie:
Gea blijft op aarde achter en Stella reist met een snelheid van 0.6c op en neer naar de ster S, gebruik makend van de twee raketten.
Voor Gea duurt het nog steeds 10 jaar voordat ze haar tweelingzus terugziet.
Maar zij 'ziet' de klok van Stella een factor 1.25 trager bewegen, zodat Stella slechts 8 jaar ouder is bij terugkomst. Stella zelf is het daarmee eens, vanuit haar positie loopt haar klok 'normaal', maar de afstand tot de ster is door lengtekrimp verkort met een factor 1.25. Het resultaat is hetzelfde: bij terugkomst staat haar klok op 8 jaar.

Echter, Stella ziet juist de klokken van Gea een factor 1.25 langzamer lopen! Ze zou dus tot de conclusie kunnen komen dat Gea slechts 6.4 jaar ouder is geworden, in plaats van 10! Dit is de beroemde tweelingparadox.
In paragraaf 13 hebben we al laten zien dat de tweelingparadox geen paradox is maar een foute redenering, doordat geen rekening gehouden wordt met het feit dat, vauit Stella's standpunt, de klokken in het systeem van Gea niet meer gelijk lopen. Als daarmee rekening gehouden wordt, klopt alles precies: Gea is na terugkomst van Stella echt 2 jaar ouder.

In deze paragraaf gebruiken we een andere aanpak om tot dezelfde conclusie te komen. We laten de beide zussen elk jaar een bericht naar elkaar toezenden. Zowel Gea als Stella tellen hoeveel berichten ze binnenkrijgen, op die manier houden ze de leeftijd van de ander bij.

We gebruiken de resultaten van paragraaf 14:

De klok in de raket RA lijkt voor Gea een factor 2 langzamer te lopen en die in RB een factor 2 sneller.
Omgekeerd geldt nu precies hetzelfde (RELATIVITEIT!):
De klok van Gea lijkt voor raket RA een factor 2 langzamer te lopen en voor raket RB een factor 2 sneller.

3.1 De signalen die Gea ontvangt van de raket RA

De raket zendt jaarlijks signalen naar Gea, maar die ontvangt zij met grotere tussenpozen, omdat de raket van haar af beweegt. Hoe groot zijn die tussenpozen?
Het nulde signaal wordt uitgezonden bij vertrek en bereikt Gea uiteraard op hetzelfde moment.
1. Elk volgend signaal komt 2 jaar later bij Gea aan
2. Tijdens het passeren van S wordt het 4e signaal uigezonden. Dit bereikt Gea na 4*2 = 8 jaar
3. Het laatste signaal wordt uitgezonden na 8 jaar, bij het bereiken van B. Dit signaal arriveert bij Gea na 8*2=16 jaar. Het verhaal is dan al lang afgelopen.

3.2 De signalen die Gea ontvangt van raket RB

Ook deze raket zendt jaarlijks een signaal naar Gea. Het duurt even voor zij het eerste signaal binnenkrijgt, maar vanaf dat moment volgende de berichten elkaar snel op. Wanneer ontvangt ze het eerste bericht en met welke tussenpozen de volgende?
Het nulde signaal wordt uitgezonden bij vertrek en bereikt Gea na 6 jaar.
1. Elk volgend signaal komt 0.5 jaar later aan
2. Tijdens het passeren van S wordt het 4e signaal uitgezonden. Dit bereikt Gea na 6+4*0.5 = 8 jaar.
3. Het laatste signaal arriveert bij Gea na 6+8*0.5=10 jaar. Uiteraard!

3.3 De signalen die raket RA ontvangt van Gea

Ook Gea zendt jaarlijks signalen uit. Omdat deze raket van haar afbeweegt, ontvangt de raket deze signalen met grotere tussenpozen. Ook hier is weer de vraag, hoe groot zijn deze tussenpozen?
Het nulde signaal wordt door Gea uitgezonden bij vertrek en bereikt de raket uiteraard op hetzelfde tijdstip.
1. Elk volgend signaal komt 2 jaar later aan bij de raket
2. Tijdens het passeren van S (na 4 jaar) komt het tweede signaal van Gea binnen.
3. Het laatste signaal wordt door Gea na 10 jaar uitgezonden, dit signaal zou de raket bereiken na 20 jaar, als de raket niet na 8 jaar bij B was gestopt

3.4 De signalen die raket RB ontvangt van Gea

Ook Gea zendt jaarlijks signalen uit. Omdat deze raket naar haar toebeweegt, ontvangt de raket deze signalen met kleinere tussenpozen, het verhaal wordt bijna saai. Wanneer ontvangt deze raket het nulde signaal van Gea?
Hier speelt de niet-gelijktijdigheid de grootste rol. In ASB waren de klokken op nul gezet op het moment dat de raketten A, resp. B passeren. Vanuit raket B is dit niet gelijktijdig. De klok van de aarde loopt voor hem voor en wel 6*0.6*1.25=4.5 jaar.
Het nulde signaal is dus al 4.5 jaar geleden verstuurd! Toen bevond de raket zich nog op 4.5*0.6=2.7 lichtjaar van B. Dat wil zeggen op 4.8+2.7=7.5 lichtjaar van A. Het licht doet er 7.5 jaar over om de raket te bereiken, dit zal gebeuren , 3 jaar na het passeren van B .
(Dit antwoord kan eenvoudiger gevonden worden door eerst een berekening uit te voeren in het systeem ASB en dan de uitkomst te 'vertalen' naar het systeem van RB. In ASB treffen het nulde signaal en de raket elkaar na 6/(1+0.6) = 3.75 jaar. Maar de klok van RB ondergaat tijdrek en zal dan dus nog maar op 3.75/1.25 = 3 jaar staan)
1. Elk volgend signaal komt 0.5 jaar later bij de raket aan
2. Tijdens het passeren van S wordt het tweede signaal van Gea opgevangen.
3. Het laatste signaal wordt door Gea na 10 jaar uitgezonden, dit signaal bereikt de raket wanneer zijn klok 3+10*0.5=8 jaar aangeeft.

In figuur 5 zijn de bovenstaande berekeningen grafisch weergegeven.
De blauwe lijn geeft de reis van Stella aan, die bij de ster van de ene op de andere raket overstapt.


Figuur 5

Met behulp van de berekeningen en de grafieken kunnen we nu de verhalen van Gea en Stella geven.

Het verhaal van achterblijvende Gea
De eerste acht jaar kwamen de signalen van Stella om de 2 jaar binnen, 4 in totaal. Deze signalen waren afkomstig uit raket RA
In de laatste twee jaar kwamen er ook 4 signalen binnen, nu met tussenpozen van 0.5 jaar. Deze signalen waren afkomstig uit raket RB
In totaal heb ik in die 10 jaar 8 signalen van haar binnengekregen.
Ze is dus nu twee jaar jonger dan ik!

Het verhaal van reiziger Stella
De eerste 4 jaar van mijn reis kreeg ik slechts 2 signalen van Gea binnen, elke 2 jaar. Bij de ster S ben ik in raket RB overgestapt.
In de laatste 4 jaar van mijn reis kreeg ik 8 signalen binnen, elke 0.5 jaar een.
In totaal heb ik in de 8 jaar van mijn reis 10 signalen van haar binnengekregen.
Ze is nu dus twee jaar ouder dan ik!

Conclusie:
Ook met deze aanpak (het tellen van binnenkomende boodschappen) is de conclusie dat Stella jonger blijft dan Gea.
Uit de vergelijking van de ruimtereizen in de 19e en de 20e eeuw wordt duidelijk dat een waarnemer de klokken in een bewegend systeem zowel trager als sneller kan zien lopen. De "echte" vertraging die volgt uit de relativiteitstheorie, is niet zomaar rechtstreeks waar te nemen, maar is als het ware verscholen achter de schijnbare vertraging/versnelling die een gevolg is van de toenemende/afnemende afstand tussen bron en waarnemer.

Een ruimtereis in de 19e eeuw  Inhoudsopgave Maak zelf een ruimtereis!